Крива

Крива
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Крива у Вікісховищі

Парабола — одна з найпростіших кривих

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

$x^{i}=x^{i}(t)\,$

де $x^{i}\,$ — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в евклідовому просторі або многовиді, а $t$ — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в декартовій системі координат $n$-вимірного евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

$\mathbf {r} =\{x^{1},x^{2},...x^{n}\}$

Дотичний вектор

Похідну за параметром позначатимемо крапкою зверху:

${\dot {\mathbf {r} }}={d\mathbf {r} \over dt}$

${\dot {x}}^{i}={dx^{i} \over dt}$

Очевидно, що вектор $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}$ (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривої

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками $\mathbf {r}$ і $\mathbf {r} +d\mathbf {r}$ дорівнює:

$(1)\qquad ds^{2}=(d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )=\sum _{i}(dx^{i})^{2}=\sum _{i}(d{\dot {x}}^{i})^{2}\,(dt)^{2}$

Довжина відрізка кривої, коли параметр $t$ пробігає значення від $t_{1}$ до $t_{2}$, дається інтегралом:

$(2)\qquad s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ds=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{i}}}\,dt$

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію $s=s(t)$, визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина $s$ також параметризує точки нашої кривої; $s$ називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}$ ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція $s=s(t)$ всюди монотонно зростає і має обернену функцію $t=t(s)$.

Кривина кривої

Із рівності $ds^{2}=(d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )$ слідує, що похідна радіус-вектора за натуральним параметром кривої:

${\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}$

є дотичним вектором одиничної довжини.

$(3)\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{2}=({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})=1$

Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:

${d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})=2({\boldsymbol {\tau }}\cdot {d{\boldsymbol {\tau }} \over ds})=0$

Отже вектор $\mathbf {k} ={d{\boldsymbol {\tau }} \over ds}={d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}$ ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора $\mathbf {n}$ нормалі до кривої, та скаляра $k$ який називається кривиною:

$\mathbf {k} =k\mathbf {n}$

Геометричний зміст кривини

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса $R$ дотичного кола:

$(4)\qquad k={1 \over R}$

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром $s$ маємо дотичний вектор $\mathbf {\tau }$, а в точці з параметром $s'=s+\Delta s$ — дотичний вектор $\mathbf {\tau } '=\mathbf {\tau } +\Delta \mathbf {\tau }$. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити $\Delta \alpha$, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

$|\Delta {\boldsymbol {\tau }}|=2\sin {{\Delta \alpha } \over 2}\approx \Delta \alpha$

Оскільки для кола радіуса $R$ маємо $\Delta s=R\Delta \alpha$, то маємо для кривини кривої:

$k=|{{d{\boldsymbol {\tau }}} \over ds}|\approx {|\Delta {\boldsymbol {\tau }}| \over \Delta s}={{\Delta \alpha } \over {R\Delta \alpha }}={1 \over R}$

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

$(5)\qquad \mathbf {r} \approx {d\mathbf {r} \over ds}s+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}s^{2}=\mathbf {\tau } s+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\mathbf {k} s^{2}$

Коло радіуса $R$, дотичне до вектора $\mathbf {\tau }$, матиме центр в ортогональній до $\mathbf {\tau }$ гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді $\mathbf {r} _{c}=R\mathbf {n}$, де $\mathbf {n}$ є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

$(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\tau }})=0$

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

$(6)\qquad \mathbf {r} '=R\sin t{\boldsymbol {\tau }}+R(1-\cos t)\mathbf {n}$

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює $s=Rt$, і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

$(7)\qquad \mathbf {r} '\approx Rt{\boldsymbol {\tau }}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}Rt^{2}\mathbf {n} ={\boldsymbol {\tau }}s+{1 \over {2R}}\mathbf {n} s^{2}$

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку ($\mathbf {r} '\approx \mathbf {r}$), якщо:

$(8)\qquad \mathbf {k} ={1 \over {R}}\mathbf {n}$

Типи кривих

• Замкнена крива — крива у якої початок збігається з кінцем (див. також Теорема Жордана).
• Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині.
• Проста крива — те саме, що крива Жордана
• Шлях — неперервне відображення відрізка $[0,1]$ в топологічний простір.
• Трансцендентна крива

Типи точок на кривій

• Точка зламу
• Точка перегину

Скрут

Якщо евклідів простір має розмірність $n\geqslant 3$, то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор $\mathbf {\tau }$ та вектор нормалі $\mathbf {n}$) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів $\mathbf {\tau }$ і $\mathbf {n}$) $\mathbf {\sigma } =\mathbf {\tau } \wedge \mathbf {n}$:

$\sigma _{ij}=\tau _{i}n_{j}-\tau _{j}n_{i}$

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах $\mathbf {\tau }$ і $\mathbf {n}$):

$\sum _{i<j}(\sigma _{ij})^{2}={1 \over 2}\sum _{i,j}(\tau _{i}n_{j}-\tau _{j}n_{i})^{2}={1 \over 2}\sum _{i,j}(\tau _{i}^{2}n_{j}^{2}+\tau _{j}^{2}n_{i}^{2}-2(\tau _{i}n_{i})(\tau _{j}n_{j}))=({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} )^{2}=1$

Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:

${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\tau }}}\wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}=k\mathbf {n} \wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}={\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}$

Звідси робимо висновок, що дві площини ${\boldsymbol {\sigma }}$ і ${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}+\Delta {\boldsymbol {\sigma }}$ перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор ${\boldsymbol {\tau }}$):

${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}\wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}\Delta s={\boldsymbol {\tau }}\wedge (\mathbf {n} +{\dot {\mathbf {n} }}\Delta s)$

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:

$\varkappa ={d\phi \over ds}=|{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}|$

Формули Френе-Серре

Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора ${\boldsymbol {\tau }}$ і $\mathbf {n}$ ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

$\mathbf {f} ={\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {n}$

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера (${\dot {\boldsymbol {\tau }}}$, ${\dot {\mathbf {n} }}$ i ${\dot {\mathbf {f} }}$) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що ${\dot {\boldsymbol {\tau }}}=k\mathbf {n}$. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі $\mathbf {n}$. Із постійності величини цього вектора знаходимо:

$0={d \over ds}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=2(\mathbf {n} \cdot {\dot {\mathbf {n} }})$

Тобто похідна ${\dot {\mathbf {n} }}$ ортогональна до самого вектора нормалі $\mathbf {n}$, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

$(9)\qquad {\dot {\mathbf {n} }}=\alpha {\boldsymbol {\tau }}+\beta \mathbf {f}$

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну ${\dot {\mathbf {f} }}$:

${\dot {\mathbf {f} }}={d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {n} )={\dot {\boldsymbol {\tau }}}\times \mathbf {n} +\mathbf {\tau } \times {\dot {\mathbf {n} }}=k\mathbf {n} \times \mathbf {n} +\mathbf {\tau } \times (\alpha \mathbf {\tau } +\beta \mathbf {f} )=\beta {\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {f} =-\beta \mathbf {n}$

Знайдемо коефіцієнти розкладу $\alpha$ і $\beta$. З останньої формули видно, що $\beta$ (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора $\mathbf {f}$, а отже і дотичної до кривої площини ($\mathbf {f}$ є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: $\beta =\varkappa$. Коефіцієнт $\alpha$ можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на ${\boldsymbol {\tau }}$:

$\alpha =({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\dot {\mathbf {n} }})={d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} )-({\dot {\boldsymbol {\tau }}}\cdot \mathbf {n} )=-(k\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=-k$

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

${\dot {\boldsymbol {\tau }}}=\qquad k\mathbf {n}$

${\dot {\mathbf {n} }}=-k{\boldsymbol {\tau }}\qquad +\varkappa \mathbf {f}$

${\dot {\mathbf {f} }}=\qquad -\varkappa \mathbf {n}$

Ці рівняння відкрили два французькі математики: Жан Фредерік Френе (1852) і Жозеф Альфред Серре (1851).

Коефіцієнт $\varkappa$ у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.

Див. також

• Лінія
• Алгебрична крива
• Відстань Фреше

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)