Користувач:Олюсь/Фіхтенгольц.Зміст

$${\begin{array}{lcl}&\displaystyle \lim _{n\to \infty }&&\color {Green}\xrightarrow {+} &&\quad \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }&&&\\&&&&\color {Magenta}\swarrow &&\color {Red}\searrow &&&\\&\color {Green}-{\bigg \downarrow }\div &&\color {Magenta}Taylor&&\;\quad \color {Green}{\bigg \downarrow }*&&\color {Red}Fourier&\color {Red}\leftarrow &\langle \cdot ,\cdot \rangle \\&&\color {Magenta}\nearrow &&&&\color {Red}\nearrow &&&\\&f^{\prime }(x)&&\;\;{\underset {f}{\longleftrightarrow }}&&\displaystyle \int f(x)dx&&&\\\end{array}}$$

Том 1

0. ВСТУП. ДІЙСНІ ЧИСЛА

0.1. Множина раціональних чисел 1. Попередні зауваження 2. Упорядкування множини раціональних чисел 3. Додавання та віднімання раціональних чисел 4. Множення та ділення раціональних чисел 5. Аксіома Архімедеса 0.2. Введення ірраціональних чисел. Упорядкування множини дійсних чисел 6. Означення ірраціонального числа 7. Упорядкування множини дійсних чисел 8. Допоміжні твердження 9. Запис дійсного числа у вигляді нескінченного десяткового дробу 10. Неперервність множини дійсних чисел 11. Межі числових множин 0.3. Арифметичні дії над дійсними числами 12. Означення суми дійсних чисел 13. Властивості додавання 14. Означення добутку дійсних чисел 15. Властивості множення 16. Висновок 17. Абсолютні величини 0.4. Подальші властивості та застосування дійсних чисел 18. Існування кореня. Степінь із раціональним показником 19. Степінь з будь-яким дійсним показником 20. Логарифми 21. Вимірювання відрізків

1. ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ

1.1. Варіанта та її границя 22. Змінна величина, варіанта 23. Границя варіанти 24. Нескінченно малі величини 25. Приклади 26. Деякі теореми про варіанту, що має границю 27. Нескінченно великі величини 1.2. Теореми про границі, що полегшують знаходження границь 28. Граничний перехід у рівності та нерівності 29. Леми про нескінченно малі 30. Арифметичні дії над змінними 31. Невизначені вирази 32. Приклади на знаходження границь 33. Теорема Штольца та її застосування 1.3. Монотонна варіанта 34. Границя монотонної варіанти 35. Приклади 36. Число e 37. Наближене обчислення числа e 38. Лема про вкладені проміжки 1.4. Принцип збіжності. Часткові границі 39. Принцип збіжності 40. Часткові послідовності та часткові границі 41. Лема Больцано — Веєрштрасса 42. Найбільша та найменша границі

2. ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2.1. Поняття функції 43. Змінна та область її зміни 44. Функціональна залежність між змінними. Приклади 45. Означення поняття функції 46. Аналітичний спосіб задання функції 47. Графік функції 48. Найважливіші класи функцій 49. Поняття оберненої функції 50. Обернені тригонометричні функції 51. Композиція функцій. Останні зауваження 2.2. Границя функції 52. Означення границі функції 53. Зведення до випадку варіанти 54. Приклади 55. Поширення теорії границь 56. Приклади 57. Границя монотонної функції 58. Загальна ознака Больцано – Коші 59. Найбільша та найменша границі функції 2.3. Класифікація нескінченно малих і нескінченно великих величин 60. Порівняння нескінченно малих 61. Шкала нескінченно малих 62. Еквівалентні нескінченно малі 63. Виділення головної частини 64. Задачі 65. Класифікація нескінченно великих 2.4. Неперервність (і розриви) функцій 66. Означення неперервності функції в точці 67. Арифметичні операції над неперервними функціями 68. Приклади неперервних функцій 69. Однобічна неперервність. Класифікація розривів 70. Приклади розривних функцій 71. Неперервність і розриви монотонної функції 72. Неперервність елементарних функцій 73. Композиція неперервних функцій 74. Розв'язування одного функціонального рівняння 75. Функціональна характеристика показникової, логарифмічної та степеневої функцій 76. Функціональна характеристика тригонометричного та гіперболічного косинусів 77. Використання неперервності функцій для обчислення границь 78. Степенево-показникові вирази 79. Приклади 2.5. Властивості неперервних функцій 80. Теорема про набуття функцією значення нуль 81. Застосування до розв'язування рівнянь 82. Теорема про проміжне значення 83. Існування оберненої функції 84. Теорема про обмеженість функції 85. Найбільше та найменше значення функції 86. Поняття рівномірної неперервності 87. Теорема Кантора 88. Лема Бореля 89. Нові доведення основних теорем

3. ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ

3.1. Похідна та її обчислення 90. Задача про обчислення швидкості рухомої точки 91. Задача про проведення дотичної до кривої 92. Означення похідної 93. Приклади обчислення похідних 94. Похідна оберненої функції 95. Формули для похідних 96. Формула для приросту функції 97. Найпростіші правила обчислення похідних 98. Похідна композиції функцій 99. Приклади 100. Однобічні похідні 101. Нескінченні похідні 102. Подальші приклади особливих випадків 3.2. Диференціал 103. Означення диференціала 104. Зв'язок між диференційовністю та існуванням похідної 105. Основні формули та правила диференціювання 106. Інваріантність форми диференціала 107. Диференціали як джерело наближених формул 108. Застосування диференціалів в оцінюванні похибок 3.3. Основні теореми диференціального числення 109. Теорема Ферма 110. Теорема Дарбу 111. Теорема Ролля 112. Формула Лагранжа 113. Границя похідної 114. Формула Коші 3.4. Похідні та диференціали вищих порядків 115. Означення похідних вищих порядків 116. Загальні формули для похідних будь-якого порядку 117. Формула Лейбніца 118. Приклади 119. Диференціали вищих порядків 120. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих порядків 121. Параметричне диференціювання 122. Скінченні різниці 3.5. Формула Тейлора 123. Формула Тейлора для многочлена 124. Розкладання довільної функції; додатковий член у формі Пеано 125. Приклади 126. Інші форми додаткового члена 127. Наближені формули 3.6. Інтерполяція 128. Найпростіша задача інтерполяції. Формула Лаґранжа 129. Додатковий член формули Лаґранжа 130. Інтерполяція з кратними вузлами. Формула Ерміта

4. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНИХ

4.1. Вивчення ходу зміни функції 131. Умова сталості функції 132. Умова монотонності функції 133. Доведення нерівностей 134. Максимуми та мінімуми; необхідні умови 135. Достатні умови. Перше правило 136. Приклади 137. Друге правило 138. Використання похідних вищих порядків 139. Знаходження найбільших і найменших значень 140. Задачі 4.2. Опуклі (й увігнуті) функції 141. Означення опуклої (увігнутої) функції 142. Найпростіші твердження про опуклі функції 143. Умови опуклості функції 144. Нерівність Єнсена та її застосування 145. Точки перегину 4.3. Побудова графіків функцій 146. Формулювання задачі 147. Схема побудови графіка. Приклади 148. Нескінченні розриви, нескінченний проміжок. Асимптоти 149. Приклади 4.4. Розкриття невизначеностей 150. Невизначеність виду 0/0 151. Невизначеність виду ∞/∞ 152. Інші види невизначеностей 4.5. Наближене розв'язування рівнянь 153. Вступні зауваження 154. Правило пропорційних частин (метод хорд) 155. Правило Ньютона (метод дотичних) 156. Приклади та вправи 157. Комбінований метод 158. Приклади та вправи

5. ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

5.1. Основні поняття 159. Функціональна залежність між змінними. Приклади 160. Функції двох змінних і області їх визначення 161. Арифметичний n-вимірний простір 162. Приклади областей у n-вимірному просторі 163. Загальне означення відкритої та замкненої області 164. Функції n змінних 165. Границя функції кількох змінних 166. Зведення до випадку варіанти 167. Приклади 168. Повторні границі 5.2. Неперервні функції 169. Неперервність і розриви функцій кількох змінних 170. Операції над неперервними функціями 171. Функції, неперервні в області. Теореми Больцано – Коші 172. Лема Больцано — Веєрштрасса 173. Теореми Веєрштрасса 174. Рівномірна неперервність 175. Лема Бореля 176. Нові доведення основних теорем 5.3. Похідні та диференціали функцій кількох змінних 177. Частинні похідні та частинні диференціали 178. Повний приріст функції 179. Повний диференціал 180. Геометрична інтерпретація для функції двох змінних 181. Похідні композиції функцій 182. Приклади 183. Формула скінченних приростів 184. Похідна за заданим напрямком 185. Інваріантність форми (першого) диференціала 186. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях 187. Однорідні функції 188. Формула Ейлера 5.4. Похідні та диференціали вищих порядків 189. Похідні вищих порядків 190. Теорема про змішані похідні 191. Узагальнення 192. Похідні вищих порядків композиції функцій 193. Диференціали вищих порядків 194. Диференціали композиції функцій 195. Формула Тейлора 5.5. Екстремуми, найбільші та найменші значення 196. Екстремуми функції кількох змінних. Необхідні умови 197. Достатні умови (для функції двох змінних) 198. Достатні умови (загальний випадок) 199. Умови відсутності екстремуму 200. Найбільше і найменше значення функцій. Приклади 201. Задачі

6. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВИЗНАЧНИКИ; ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

6.1. Формальні властивості функціональних визначників 202. Означення функціональних визначників (якобіанів) 203. Множення якобіанів 204. Множення функціональних матриць (матриць Якобі) 6.2. Неявні функції 205. Поняття неявної функції від однієї змінної 206. Існування неявної функції 207. Диференційовність неявної функції 208. Неявні функції кількох змінних 209. Обчислення похідних неявних функцій 210. Приклади 6.3. Деякі застосування теорії неявних функцій 211. Відносні екстремуми 212. Метод невизначених множників Лаґранжа 213. Достатні умови для відносного екстремуму 214. Приклади та задачі 215. Поняття незалежності функцій 216. Ранг матриці Якобі 6.4. Заміна змінних 217. Функції однієї змінної 218. Приклади 219. Функції кількох змінних. Заміна незалежних змінних 220. Метод обчислення диференціалів 221. Загальний випадок заміни змінних 222. Приклади

7. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ

7.1. Аналітичне задання кривих і поверхонь 223. Криві на площині (у прямокутних координатах) 224. Приклади 225. Криві механічного походження 226. Криві на площині (у полярних координатах). Приклади 227. Поверхні та криві в просторі 228. Параметрично задані криві 229. Приклади 7.2. Дотична та дотична площина 230. Дотична до плоскої кривої в прямокутних координатах 231. Приклади 232. Дотична в полярних координатах 233. Приклади 234. Дотична до кривої в просторі. Дотична площина до поверхні 235. Приклади 236. Особливі точки плоских кривих 237. Випадок параметричного задання кривої 7.3. Дотик між кривими 238. Обвідна сімейства кривих 239. Приклади 240. Характеристичні точки 241. Порядок дотику двох кривих 242. Випадок неявного задання однієї з кривих 243. Стична крива 244. Інший підхід до стичних кривих 7.4. Довжина плоскої кривої 245. Леми 246. Напрямок на кривій 247. Довжина кривої. Адитивність довжини дуги 248. Достатні умови спрямлюваності. Диференціал дуги 249. Дуга в ролі параметра. Додатний напрямок дотичної 7.5. Кривизна плоскої кривої 250. Поняття кривизни 251. Коло кривизни та радіус кривизни 252. Приклади 253. Координати центра кривизни 254. Означення еволюти й евольвенти; знаходження еволюти 255. Властивості еволют і евольвент 256. Знаходження евольвент 7.6. Додаток. Задача поширення функцій 257. Випадок функції однієї змінної 258. Формулювання задачі для двовимірного випадку 259. Леми 260. Основна теорема про поширення функції 261. Узагальнення 262. Останні зауваження

Том 2

8. ПЕРВІСНА ФУНКЦІЯ (НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ)

8.1. Невизначений інтеграл і найпростіші способи його обчислення 263. Поняття первісної функції (та невизначеного інтеграла) 264. Інтеграл і задача про знаходження площі 265. Таблиця основних інтегралів 266. Найпростіші правила інтегрування 267. Приклади 268. Інтегрування методом заміни змінної 269. Приклади 270. Інтегрування частинами 271. Приклади 8.2. Інтегрування раціональних виразів 272. Формулювання задачі інтегрування в скінченному вигляді 273. Прості дроби та їх інтегрування 274. Розкладання правильних дробів на прості дроби 275. Знаходження коефіцієнтів. Інтегрування правильних дробів 276. Виділення раціональної частини інтеграла 277. Приклади 8.3. Інтегрування деяких виразів, що містять радикали 278. Інтегрування виразів вигляду $R\left(x,{\sqrt[{m}]{\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}\right)$. Приклади 279. Інтегрування біноміальних диференціалів. Приклади 280. Формули зведення 281. Інтегрування виразів вигляду $R\left(x,{\sqrt {x^{2}+bx+c}}\right)$. Підстановки Ейлера 282. Геометричне трактування підстановок Ейлера 283. Приклади 284. Інші способи обчислення 285. Приклади 8.4. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні і показникову функції 286. Інтегрування диференціалів R(sin x, cos x) dx 287. Інтегрування виразів $sin^{\nu }x\cdot cos^{\mu }x$ 288. Приклади 289. Огляд інших випадків 8.5. Еліптичні інтеграли 290. Загальні зауваження та означення 291. Допоміжні перетворення 292. Зведення до канонічної форми 293. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

9. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

9.1. Означення та умови існування визначеного інтеграла 294. Інший підхід до задачі про площу 295. Означення 296. Суми Дарбу 297. Умова існування інтеграла 298. Класи інтегровних функцій 299. Властивості інтегровних функцій 300. Приклади та додатки 301. Нижній та верхній інтеграли як границі 9.2. Властивості визначених інтегралів 302. Інтеграл на орієнтованому проміжку 303. Властивості, що виражаються рівностями 304. Властивості, що виражаються нерівностями 305. Визначений інтеграл як функція верхньої межі 306. Друга теорема про середнє значення 9.3. Обчислення і перетворення визначених інтегралів 307. Обчислення за допомогою інтегральних сум 308. Основна формула інтегрального числення 309. Приклади 310. Інший спосіб отримання основної формули 311. Формули зведення 312. Приклади 313. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі 314. Приклади 315. Формула Ґаусса. Перетворення Лендена 316. Інший спосіб отримання формули заміни змінної 9.4. Деякі застосування визначених інтегралів 317. Формула Валліса 318. Формула Тейлора з додатковим членом 319. Трансцендентність числа e 320. Многочлени Лежандра 321. Інтегральні нерівності 9.5. Наближене обчислення інтегралів 322. Формулювання задачі. Формули прямокутників та трапецій 323. Параболічна інтерполяція 324. Поділ проміжку інтегрування 325. Додатковий член формули прямокутників 326. Додатковий член формули трапецій 327. Додатковий член формули Сімпсона 328. Приклади

10. ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ, МЕХАНІКИ ТА ФІЗИКИ

10.1. Довжина кривої 329. Обчислення довжини кривої 330. Інший підхід до означення поняття довжини кривої та її обчислення 331. Приклади 332. Натуральне рівняння плоскої кривої 333. Приклади 334. Довжина дуги просторової кривої 10.2. Площі та об'єми 335. Означення поняття площі. Властивість адитивності 336. Площа як границя 337. Класи квадровних областей 338. Обчислення площі за допомогою інтеграла 339. Приклади 340. Означення поняття об'єму. Його властивості 341. Класи тіл, що мають об'єм 342. Обчислення об'єму за допомогою інтеграла 343. Приклади 344. Площа поверхні обертання 345. Приклади 346. Площа циліндричної поверхні 347. Приклади 10.3. Обчислення механічних і фізичних величин 348. Схема застосування визначеного інтеграла 349. Знаходження статичних моментів і центра мас кривої 350. Приклади 351. Знаходження статичних моментів і центра мас плоскої фігури 352. Приклади 353. Механічна робота 354. Приклади 355. Робота сили тертя у плоскій п'яті 356. Задачі на підсумовування нескінченно малих елементів 10.4. Найпростіші диференціальні рівняння 357. Основні поняття. Рівняння першого порядку 358. Рівняння першого степеня відносно похідної. Відокремлення змінних 359. Задачі 360. Зауваження щодо складання диференціальних рівнянь 361. Задачі

11. НЕСКІНЧЕННІ РЯДИ ЗІ СТАЛИМИ ЧЛЕНАМИ

11.1. Вступ 362. Основні поняття 363. Приклади 364. Основні теореми 11.2. Збіжність додатних рядів 365. Умова збіжності додатного ряду 366. Теореми порівняння рядів 367. Приклади 368. Ознаки Коші та д'Аламбера 369. Ознака Раабе 370. Приклади 371. Ознака Куммера 372. Ознака Гауса 373. Інтегральна ознака Маклорена — Коші 374. Ознака Єрмакова 375. Додатки 11.3. Збіжність довільних рядів 376. Загальна умова збіжності ряду 377. Абсолютна збіжність 378. Приклади 379. Степеневий ряд, його проміжок збіжності 380. Запис радіуса збіжності за допомогою коефіцієнтів 381. Знакозмінні ряди 382. Приклади 383. Перетворення Абеля 384. Ознаки Абеля та Діріхлє 385. Приклади 11.4. Властивості збіжних рядів 386. Сполучна властивість 387. Комутативна властивість абсолютно збіжних рядів 388. Випадок неабсолютно збіжних рядів 389. Множення рядів 390. Приклади 391. Загальна теорема з теорії границь 392. Подальші теореми про множення рядів 11.5. Повторні та подвійні ряди 393. Повторні ряди 394. Подвійні ряди 395. Приклади 396. Степеневий ряд із двома змінними; область збіжності 397. Приклади 398. Кратні ряди 11.6. Нескінченні добутки 399. Основні поняття 400. Приклади 401. Основні теореми. Зв'язок із рядами 402. Приклади 11.7. Розкладання елементарних функцій 403. Розкладання функції в степеневий ряд; ряд Тейлора 404. Розкладання в ряд показникової, основних тригонометричних функцій та інших 405. Логарифмічний ряд 406. Формула Стірлінга 407. Біноміальний ряд 408. Розкладання синуса та косинуса в нескінченні добутки 11.8. Наближені обчислення за допомогою рядів. Перетворення рядів 409. Загальні зауваження 410. Обчислення числа Пі 411. Обчислення логарифмів 412. Обчислення коренів 413. Перетворення Ейлера 414. Приклади 415. Перетворення Куммера 416. Перетворення Маркова 11.9. Підсумовування розбіжних рядів 417. Вступ 418. Метод степеневих рядів 419. Теорема Таубера 420. Метод середніх арифметичних 421. Зв'язок між методами Пуассона – Абеля і Чезаро 422. Теорема Харді – Е. Ландау 423. Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів 424. Інші методи узагальненого підсумовування рядів 425. Приклади 426. Загальний клас лінійних регулярних методів підсумовування

12. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА РЯДИ

12.1. Рівномірна збіжність 427. Вступні зауваження 428. Рівномірна і нерівномірна збіжності 429. Умова рівномірної збіжності 430. Ознаки рівномірної збіжності рядів 12.2. Функціональні властивості суми ряду 431. Неперервність суми ряду 432. Зауваження про квазі-рівномірну збіжність 433. Почленний перехід до границі 434. Почленне інтегрування рядів 435. Почленне диференціювання рядів 436. Зв'язок з послідовностями 437. Неперервність суми степеневого ряду 438. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів 12.3. Застосування 439. Приклади на неперервність суми ряду і на почленний перехід до границі 440. Приклади на почленне інтегрування рядів 441. Приклади на почленне диференціювання рядів 442. Метод послідовних наближень у теорії неявних функцій 443. Аналітичне означення тригонометричних функцій 444. Приклад неперервної функції без похідної 12.4. Додаткові відомості про степеневі ряди 445. Дії над степеневими рядами 446. Підстановка ряду в ряд 447. Приклади 448. Ділення степеневих рядів 449. Числа Я. Бернуллі та розклади, в яких вони трапляються 450. Розв'язування рівнянь за допомогою рядів 451. Обернений степеневий ряд 452. Ряд Лаґранжа 12.5. Елементарні функції комплексної змінної 453. Комплексні числа 454. Комплексна варіанта та її границя 455. Функції комплексної змінної 456. Степеневі ряди 457. Показникова функція 458. Логарифмічна функція 459. Тригонометричні функції та обернені до них 460. Степенева функція 461. Приклади 12.6. Ряди, що обгортають. Асимптотичні ряди. Формула Ейлера — Маклорена 462. Приклади 463. Означення 464. Основні властивості асимптотичних розкладів 465. Виведення формули Ейлера – Маклорена 466. Дослідження додаткового члена 467. Приклади обчислень за допомогою формули Ейлера – Маклорена 468. Інший вигляд формули Ейлера – Маклорена 469. Формула і ряд Стірлінга

13. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

13.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами 470. Означення інтегралів з нескінченними межами 471. Застосування основної формули інтегрального числення 472. Приклади 473. Аналогія з рядами. Найпростіші теореми 474. Збіжність інтеграла у разі додатної функції 475. Збіжність інтеграла в загальному випадку 476. Ознаки Абеля і Діріхлє 477. Зведення невласного інтеграла до нескінченного ряду 478. Приклади 13.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій 479. Означення інтегралів від необмежених функцій 480. Зауваження щодо особливих точок 481. Застосування основної формули інтегрального числення. Приклади 482. Умови й ознаки існування інтеграла 483. Приклади 484. Головні значення невласних інтегралів 485. Зауваження про узагальнені значення розбіжних інтегралів 13.3. Властивості та перетворення невласних інтегралів 486. Найпростіші властивості 487. Теореми про середнє значення 488. Інтегрування частинами у випадку невласних інтегралів 489. Приклади 490. Заміна змінних у невласних інтегралах 491. Приклади 13.4. Особливі способи обчислення невласних інтегралів 492. Деякі чудові інтеграли 493. Обчислення невласних інтегралів за допомогою інтегральних сум. Випадок інтегралів зі скінченними межами 494. Інтеграли з нескінченними межами 495. Інтеграли Фрулляні 496. Інтеграли з нескінченними межами від раціональних функцій 497. Змішані приклади та вправи 13.5. Наближене обчислення невласних інтегралів 498. Інтеграли зі скінченними межами; виділення особливостей 499. Приклади 500. Зауваження щодо наближеного обчислення власних інтегралів 501. Наближене обчислення невласних інтегралів з нескінченною межею 502. Використання асимптотичних розкладів

14. ІНТЕГРАЛИ, ЩО ЗАЛЕЖАТЬ ВІД ПАРАМЕТРА

14.1. Елементарна теорія 503. Формулювання задачі 504. Рівномірне прямування до граничної функції 505. Переставляння двох граничних переходів 506. Граничний перехід під знаком інтеграла 507. Диференціювання під знаком інтеграла 508. Інтегрування під знаком інтеграла 509. Випадок, коли межі інтеграла також залежать від параметра 510. Введення множника, що залежить лише від x 511. Приклади 512. Доведення Ґаусса основної теореми алгебри 14.2. Рівномірна збіжність інтегралів 513. Означення рівномірної збіжності інтегралів 514. Умова рівномірної збіжності. Зв'язок із рядами 515. Достатні ознаки рівномірної збіжності 516. Інший випадок рівномірної збіжності 517. Приклади 14.3. Використання рівномірної збіжності інтегралів 518. Граничний перехід під знаком інтеграла 519. Приклади 520. Неперервність і диференційовність інтеграла за параметром 521. Інтегрування інтеграла за параметром 522. Застосування для обчислення деяких інтегралів 523. Приклади диференціювання під знаком інтеграла 524. Приклади інтегрування під знаком інтеграла 14.4. Додаток 525. Лема Арцела 526. Граничний перехід під знаком інтеграла 527. Диференціювання під знаком інтеграла 528. Інтегрування під знаком інтеграла 14.5. Інтеграли Ейлера 529. Інтеграл Ейлера першого роду 530. Інтеграл Ейлера другого роду 531. Найпростіші властивості функції Гамма 532. Однозначне означення функції Гамма її властивостями 533. Інша функціональна характеристика функції Гамма 534. Приклади 535. Логарифмічна похідна функції Гамма 536. Теорема множення для функції Гамма 537. Деякі розклади в ряди та добутки 538. Приклади та додатки 539. Обчислення деяких визначених інтегралів 540. Формула Стірлінга 541. Обчислення сталої Ейлера 542. Складання таблиці десяткових логарифмів функції Гамма

Том 3

15. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ. ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА

15.1. Криволінійні інтеграли першого типу 543. Означення криволінійного інтеграла першого типу 544. Зведення до звичайного визначеного інтеграла 545. Приклади 15.2. Криволінійні інтеграли другого типу 546. Означення криволінійних інтегралів другого типу 547. Існування та обчислення криволінійного інтеграла другого типу 548. Випадок замкненого контуру. Орієнтація площини 549. Приклади 550. Наближення за допомогою інтеграла вздовж ламаної 551. Обчислення площ за допомогою криволінійних інтегралів 552. Приклади 553. Зв'язок між криволінійними інтегралами обох типів 554. Фізичні задачі 15.3. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху 555. Формулювання задачі, зв'язок із питанням щодо точного диференціала 556. Диференціювання інтеграла, що не залежить від шляху 557. Обчислення криволінійного інтеграла через первісну 558. Ознака точного диференціала та знаходження первісної у випадку прямокутної області 559. Узагальнення на випадок довільної області 560. Остаточні результати 561. Інтеграли вздовж замкненого контуру 562. Випадок неоднозв'язної області або наявності особливих точок 563. Інтеграл Ґаусса 564. Тривимірний випадок 565. Приклади 566. Застосування до фізичних задач 15.4. Функції з обмеженою зміною 567. Означення функції з обмеженою зміною 568. Класи функцій з обмеженою зміною 569. Властивості функцій з обмеженою зміною 570. Критерії для функцій з обмеженою зміною 571. Неперервні функції з обмеженою зміною 572. Спрямні криві 15.5. Інтеграл Стілтьєса 573. Означення інтеграла Стілтьєса 574. Загальні умови існування інтеграла Стілтьєса 575. Класи випадків існування інтеграла Стілтьєса 576. Властивості інтеграла Стілтьєса 577. Інтегрування частинами 578. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтеграла Рімана 579. Обчислення інтегралів Стілтьєса 580. Приклади 581. Геометрична ілюстрація інтеграла Стілтьєса 582. Теорема про середнє значення, оцінки 583. Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса 584. Приклади та додатки 585. Зведення криволінійного інтеграла другого типу до інтеграла Стілтьєса

16. ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

16.1. Означення та найпростіші властивості подвійного інтеграла 586. Задача про об'єм циліндричного бруса 587. Зведення подвійного інтеграла до повторного 588. Означення подвійного інтеграла 589. Умови існування подвійного інтеграла 590. Класи інтегровних функцій 591. Нижній та верхній інтеграли як границі 592. Властивості інтегровних функцій та подвійних інтегралів 593. Інтеграл як адитивна функція області; диференціювання за областю 16.2. Обчислення подвійного інтеграла 594. Зведення подвійного інтеграла до повторного у випадку прямокутної області 595. Приклади 596. Зведення подвійного інтеграла до повторного у випадку криволінійної області 597. Приклади 598. Застосування в механіці 599. Приклади 16.3. Формула Гріна 600. Виведення формули Гріна 601. Застосування формули Гріна до дослідження криволінійних інтегралів 602. Приклади та додатки 16.4. Заміна змінних у подвійному інтегралі 603. Перетворення плоских областей 604. Приклади 605. Вираження площі у криволінійних координатах 606. Додаткові зауваження 607. Геометричне виведення 608. Приклади 609. Заміна змінних у подвійних інтегралах 610. Аналогія з простим інтегралом. Інтеграл по орієнтованій області 611. Приклади 16.5. Невласні подвійні інтеграли 612. Інтеграли по необмеженій області 613. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла 614. Зведення подвійного інтеграла до повторного 615. Інтеграли від необмежених функцій 616. Заміна змінних у невласних інтегралах 617. Приклади

17. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ. ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

17.1. Двосторонні поверхні 618. Сторона поверхні 619. Приклади 620. Орієнтація поверхонь та простору 621. Вибір знака у формулах для напрямних косинусів нормалі 622. Випадок кусково-гладкої поверхні 17.2. Площа кривої поверхні 623. Приклад Шварца 624. Означення площі кривої поверхні 625. Зауваження 626. Існування площі поверхні та її обчислення 627. Метод вписаних многогранних поверхонь 628. Особливі випадки означення площі 629. Приклади 17.3. Поверхневі інтеграли першого типу 630. Означення поверхневого інтеграла першого типу 631. Зведення до звичайного подвійного інтеграла 632. Застосування поверхневих інтегралів першого типу у механіці 633. Приклади 17.4. Поверхневі інтеграли другого типу 634. Означення поверхневого інтеграла другого типу 635. Найпростіші окремі випадки 636. Загальний випадок 637. Деталь доведення 638. Вираження об'єму тіла за допомогою поверхневого інтеграла 639. Формула Стокса 640. Приклади 641. Застосування формули Стокса до дослідження криволінійних інтегралів у просторі

18. ПОТРІЙНІ ТА БАГАТОКРАТНІ ІНТЕГРАЛИ

18.1. Потрійний інтеграл та його обчислення 642. Задача обчислення маси тіла 643. Потрійний інтеграл та умови його існування 644. Властивості інтегровних функцій та потрійних інтегралів 645. Обчислення потрійного інтеграла по області, що має форму паралелепіпеда 646. Обчислення потрійного інтеграла по області довільної форми 647. Невласні потрійні інтеграли 648. Приклади 649. Застосування в механіці 650. Приклади 18.2. Формула Ґаусса – Остроградського 651. Формула Остроградського 652. Застосування формули Остроградського для дослідження поверхневих інтегралів 653. Інтеграл Ґаусса 654. Приклади 18.3. Заміна змінних у потрійних інтегралах 655. Перетворення просторів та криволінійні координати 656. Приклади 657. Вираження об'єму у криволінійних координатах 658. Додаткові зауваження 659. Геометричне виведення 660. Приклади 661. Заміна змінних у потрійних інтегралах 662. Приклади 663. Притягання з боку тіла та потенціал на внутрішню точку 18.4. Елементи векторного аналізу 664. Скаляри та вектори 665. Скалярне та векторне поля 666. Градієнт 667. Потік вектора через поверхню 668. Формула Остроградського. Дивергенція 669. Циркуляція вектора. Формула Стокса. Вихор 670. Спеціальні поля 671. Обернена задача векторного аналізу 672. Приклади застосування 18.5. Багатократні інтеграли 673. Задача про притягання та потенціал двох тіл 674. Об'єм n-вимірного тіла, n-кратний інтеграл 675. Заміна змінних у n-кратному інтегралі 676. Приклади

19. РЯДИ ФУР'Є

19.1. Вступ 677. Періодичні величини та гармонічний аналіз 678. Визначення коефіцієнтів за методом Ейлера – Фур'є 679. Ортогональні системи функцій 680. Тригонометрична інтерполяція 19.2. Розкладання функцій у ряд Фур'є 681. Формулювання питання. Інтеграл Діріхлє 682. Перша основна лема 683. Принцип локалізації 684. Ознаки Діні та Ліпшица збіжності рядів Фур'є 685. Друга основна лема 686. Ознака Діріхлє – Жордана 687. Випадок неперіодичної функції 688. Випадок довільного проміжку 689. Розкладання лише за синусами або лише за косинусами 690. Приклади 691. Розкладання $\ln {\Gamma (x)}$ 19.3. Додатки 692. Ряди зі спадними коефіцієнтами 693. Підсумовування тригонометричних рядів за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної 694. Приклади 695. Комплексна форма рядів Фур'є 696. Спряжений ряд 697. Кратні ряди Фур'є 19.4. Характер збіжності рядів Фур'є 698. Деякі додатки до основних лем 699. Ознаки рівномірної збіжності рядів Фур'є 700. Поведінка ряду Фур'є поблизу точки розриву; частковий випадок 701. Випадок довільної функції 702. Особливості рядів Фур'є; попередні зауваження 703. Побудова особливостей 19.5. Оцінка залишку залежно від диференціальних властивостей функції 704. Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є функції та її похідних 705. Оцінка часткової суми у випадку обмеженої функції 706. Оцінка залишку у випадку функції із обмеженою k-ю похідною 707. Випадок функції, що має k-у похідну з обмеженою зміною 708. Вплив розривів функції та її похідних на порядок малості коефіцієнтів Фур'є 709. Випадок функції, заданої на проміжку $[0,\pi ]$ 710. Метод відокремлення особливостей 19.6. Інтеграл Фур'є 711. Інтеграл Фур'є як граничний випадок ряду Фур'є 712. Попередні зауваження 713. Достатні ознаки 714. Видозміна основного припущення 715. Різноманітні види формули Фур'є 716. Перетворення Фур'є 717. Деякі властивості перетворень Фур'є 718. Приклади та додатки 719. Випадок функції двох змінних 19.7. Приклади застосування 720. Вираження ексцентричної аномалії планети через її середню аномалію 721. Задача про коливання струни 722. Задача про поширення тепла у скінченному стержні 723. Випадок нескінченного стержня 724. Видозміна граничних умов 725. Поширення тепла в круглій пластині 726. Практичний гармонічний аналіз. Схема для дванадцяти ординат 727. Приклади 728. Схема для двадцяти чотирьох ординат 729. Приклади 730. Порівняння наближених та точних значень коефіцієнтів Фур'є

20. РЯДИ ФУР'Є (ПРОДОВЖЕННЯ)

20.1. Операції над рядами Фур'є. Повнота та замкненість 731. Почленне інтегрування ряду Фур'є 732. Почленне диференціювання ряду Фур'є 733. Повнота тригонометричної системи 734. Рівномірна апроксимація функцій. Теореми Веєрштрасса 735. Апроксимація функцій у середньому. Екстремальні властивості відрізків ряду Фур'є 736. Замкненість тригонометричної системи. Теорема Ляпунова 737. Узагальнене рівняння замкненості 738. Множення рядів Фур'є 739. Деякі застосування рівняння замкненості 20.2. Застосування методів узагальненого підсумовування до рядів Фур'є 740. Основна лема 741. Підсумовування рядів Фур'є методом Пуассона – Абеля 742. Розв'язання задачі Діріхлє для круга 743. Підсумовування рядів Фур'є методом Чезаро – Фейєра 744. Деякі застосування узагальненого підсумовування рядів Фур'є 745. Почленне диференціювання рядів Фур'є 20.3. Єдиність тригонометричного розкладу функції 746. Допоміжні зауваження щодо узагальнених похідних 747. Метод Рімана підсумовування тригонометричних рядів 748. Лема про коефіцієнти збіжного ряду 749. Єдиність тригонометричного розкладу 750. Завершальні теореми щодо рядів Фур'є 751. Узагальнення

21. ДОДАТОК

21.1. Загальний погляд на границю 752. Різні види границь, що зустрічаються в аналізі 753. Впорядковані множини (у власному сенсі) 754. Впорядковані множини (в узагальненому сенсі) 755. Впорядкована змінна та її границя 756. Приклади 757. Зауваження щодо границі функції 758. Поширення теорії границь 759. Однаково впорядковані змінні 760. Упорядкування за допомогою числового параметра 761. Зведення до варіанти 762. Найбільша та найменша границі впорядкованої змінної